Mathematics · Statistics

MATH2099 · 五个特殊分布

五个特殊分布

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五个特殊分布

二项/泊松/均匀/指数/正态 · Lecture 3

太阳能板故障 + 期望发电

X\sim\text{Bin}(n,\,1-p_{\text{fail}})\qquad E[X^2]=np(1-p)+(np)^2

生产线次品 + 期望收益

X\sim\text{Bin}(n,\,1-p_{\text{defect}})\qquad E[X^2]=\underbrace{np(1-p)}_{\operatorname{Var}}+\underbrace{(np)^2}_{(E[X])^2}

电子管寿命 (给 pdf → 积分)

f(x)=\frac{c}{x^{2}},\ x>c\quad\Longrightarrow\quad P(T<t)=\int_{c}^{t}\frac{c}{x^{2}}dx=1-\frac{c}{t}

手机续航 (指数 → 二项)

P(T<t)=1-e^{-t/\text{mean}}\qquad\text{然后}\qquad X\sim\text{Bin}(n,p)

气旋数 (泊松 + 期望损失)

Y\sim\text{Poi}(\lambda):\quad E[Y]=\lambda,\ \operatorname{Var}(Y)=\lambda\ \Rightarrow\ E[Y^2]=\lambda+\lambda^{2}

监控相机 (指数 → 二项)

P(T<t)=1-e^{-t/\text{mean}}\qquad X\sim\text{Bin}(n,p),\ P(X\ge k)=1-F(k-1)

笔记本维修 (均匀分布)

t=a+p(b-a)\qquad E[g(U)]=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}g(u)\,du

机器故障 (泊松 + 期望成本)

P(\text{需要外包})=P(Y\ge m+1)=1-F(m)\qquad E[Y^2]=\lambda+\lambda^{2}