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1 用一个数概括一堆数

一组数据(全班成绩、一个月气温、十个人的工资)摆在面前,人脑记不住几十个数,只想抓住一句话:大概在哪、散得开不开。描述统计干的就是这件事——把一堆数压成几个能说人话的指标。先看"中间在哪"。

集中趋势:用一个"代表值"概括数据中心。三个常用——平均数 mean(全加起来除以个数)、中位数 median(排好序正中间那个)、众数 mode(出现最多的那个)。

平均数像"重心/天平的平衡点";中位数像"排队站中间的人"。多数时候它俩差不多,但遇到极端值就分道扬镳——下面拖一拖就懂。

下面每个点是一个学生的分数。拖动任意一个点:红色 ▲ 是平均数(像天平的平衡点),蓝色竖线是中位数。试着把一个点拖到很高或很低(模拟一个学霸或缺考)——看谁动得厉害。

平均数 = 70.0 中位数 = 70 数据个数 n = 7

平均数和中位数现在很接近,说明数据比较"对称"。

一个 10 人小公司:9 人月薪 1 万,老板 100 万。

平均工资 ≈ 10.9 万

被老板一个人带飞,听起来人人发财,其实没一个普通人挣这么多。平均数对极端值极敏感。

工资中位数 = 1 万

排好序站中间的就是 1 万——真实反映"普通人"水平。所以收入、房价这类有大尾巴的数据,官方爱用中位数。

一句话记住

中位数抗揍(robust):个别极端值拉不动它;平均数怕离群值。数据有大离群值时,中位数往往更能"代表中间"。

光知道"中间在哪"不够。两个班平均分都是 70,一个全班都 68–72,另一个有人 40 有人 100——稳定程度天差地别。衡量"散开程度"的就是标准差。拖滑块,看点怎么聚拢/散开,标准差怎么变。

散开程度

平均数 = 60(不变)标准差 σ = 12.0

阴影带是平均 ± 1 个标准差——大约 2/3 的数据落在这条带子里。带子越宽 = σ 越大 = 越不稳定。

方差 = 每个数"离平均多远"的平方,再取平均:s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n−1)。标准差 s = √(方差),把单位拉回和数据一致。

为什么平方?为了让"偏左"和"偏右"都算正贡献、不相互抵消(直接求差会正负抵消成 0)。开根号是为了单位一致(分→分,而不是分²)。

三道题,点选项即时判;答题进度显示在右侧目录。

一句话带走:

描述统计 = 把一堆数压成几个指标。中心看平均数 / 中位数 / 众数;有大离群值时中位数更靠谱(平均数会被带跑)。散开程度看标准差 s=√(Σ(xᵢ−x̄)²/(n−1)),平方是为了不让正负抵消、开根是为了单位一致。中心 + 散布两件事说清,数据就有画像了。