Jordan 标准型与广义特征空间
Jordan Forms & Generalised Eigenspaces
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Jordan标准型
math/jordan-forms · MATH20991 当矩阵"对角化不了"的时候
上一类话题我们靠对角化 A=PDP⁻¹ 把变换拆成"各主轴独立缩放"。但有些矩阵根本凑不齐足够的独立特征向量——它们对角化失败。Jordan 标准型就是为这些"缺陷矩阵"准备的"退而求其次的最简形式":尽量接近对角,只在必要处补一个 1。
能对角化的前提:n×n 矩阵能找到 n 个线性无关的特征向量。若某个特征值重数高、却凑不出那么多独立特征向量,矩阵就不可对角化(缺陷)。
两个"重数":代数重数=特征值在特征方程里重复几次;几何重数=该特征值真正独立的特征向量个数。几何重数 < 代数重数 时,对角化失败,需要 Jordan 型。
2 亲眼看一个"缺陷"矩阵
切变矩阵 [[2,1],[0,2]] 的特征值是 2,而且"重复两次"(代数重数 2)。按理该有两个方向不变,但转一圈你会发现——只有一条特征方向(x 轴)!对比旁边可对角化的矩阵有两条。这就是"缺陷":重数 2,却只摸到 1 个独立特征向量。
特征方向数 = 几何重数
3 Jordan 块:在对角线旁补一个 1
Jordan 标准型 J 由若干Jordan 块沿对角线拼成。每个块对角线全是同一个特征值 λ,紧挨着对角线的上方(超对角线)填 1。点按钮改变"块的切分方式",看矩阵长相和几何重数怎么变(块数 = 几何重数)。
3×3 Jordan 型(特征值都是 5)
Jordan 块 J_k(λ) = k×k,对角线全是 λ、超对角线全是 1。任意方阵都可写成 A = P J P⁻¹,J 是这些块的拼接(在复数范围唯一,除块的排序外)。
块数 = 几何重数(独立特征向量个数);某特征值所有块的尺寸之和 = 它的代数重数。所有块都是 1×1 时,J 就是对角阵——回到普通对角化。
4 那个"1"是什么意思,有什么用
5 试三道(先想,再点)
三道题,点选项即时判;答题进度显示在右侧目录。
一句话带走:
当特征向量凑不齐(几何重数 < 代数重数)、矩阵不可对角化时,用 Jordan 标准型 A=PJP⁻¹:J 由若干 Jordan 块拼成,每块对角是 λ、超对角线补 1。块数 = 几何重数,块尺寸之和 = 代数重数;全为 1×1 块就退回对角化。它靠广义特征向量补位,是求 e^A、解重根 ODE 与矩阵相似分类的终极工具。对称矩阵永不需要它。