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1 线性变换:对整个平面"统一施法"

上一节我们看到 2×2 矩阵能"掰弯"平面。这一节给这种"掰"立规矩:什么样的变换才算线性?一句话——它必须让网格保持笔直、间距均匀,而且原点钉在原地不动。旋转、缩放、切变都符合;但"整体平移"或"拗成曲线"就不是。

线性变换 T 满足两条:T(u+v)=T(u)+T(v) 且 T(k·v)=k·T(v)。直白说:先加再变 = 先变再加,缩放也可以随意"提进提出"。

几何后果:直线还是直线、平行还是平行、网格还是均匀网格、原点不动。正因如此,只要知道两个基向量被搬到哪,整个平面就全定了——这就是矩阵的来历。

判断线性,看三件事:原点动没动?直线还直吗?网格还均匀吗?点下面不同的变换,观察小猫和网格。线性的(蓝标)网格永远笔直均匀;非线性的(红标)要么平移了原点,要么把直线拗弯了。

判定 = 线性原点 = 不动

既然知道两个基向量的落点就能定下整个变换,那把这两个落点竖着写成两列,就是这个变换的矩阵!拖动红、绿两个箭头的头(它们是 x 轴、y 轴变换后的落点),看矩阵和整张网格如何跟着变。

矩阵 = [[1, 0], [0, 1]] det = 1.0

红箭头 = 第 1 列(原 x 轴 (1,0) 的落点),绿箭头 = 第 2 列(原 y 轴 (0,1) 的落点)。矩阵不过是"把这两个落点抄下来"。这就是矩阵和线性变换是同一回事的根本原因。

连着做两个变换(先 T₁ 再 T₂),等价于一个变换,它的矩阵 = T₂ · T₁(注意:后做的写左边)。而且顺序不能换:先旋转再切变,和先切变再旋转,结果完全不同。点两个按钮,分步看小猫怎么变,再对比最终形状。

合成矩阵 = 单位

点"顺序A"或"顺序B",会先后施加旋转和切变两步。看完两个顺序,对比小猫最终落点——明显不同,这就是 AB ≠ BA 的几何真相。

三道题,点选项即时判;答题进度显示在右侧目录。

一句话带走:

线性变换 = 让网格笔直均匀、原点不动的变换(满足 T(u+v)=Tu+Tv、T(kv)=kTv)。只要知道基向量的落点就定了整个变换——把落点写成两列就是矩阵。连续做两个变换 = 矩阵相乘(后做的在左),且顺序不可交换。矩阵与线性变换,本就是同一件事的两种说法。