数学 · 线代
内积、正交化与 QR 分解
Inner Products, Orthogonalisation & QR
约 30 分钟 · v1
正交性
math/orthogonality · MATH2099
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1 正交:数学里的"互相垂直"
"正交"听着高深,其实就是垂直。两个向量正交,等价于它们的点积等于零。为什么垂直这么重要?因为互相垂直的方向彼此"不串味"——你在东西方向走多远,完全不影响南北坐标。这种"互不干扰"让计算变得极其干净。
两个向量 正交 (orthogonal) ⟺ a · b = 0。回忆点积 a·b = ‖a‖‖b‖cosθ:夹角 90° 时 cosθ=0,所以点积为零正好对应垂直。
注意:零向量和任何向量都"正交"(点积恒为 0)。多个向量两两正交,就构成一组"互不干扰"的方向——这是后面正交基、最小二乘的基石。
2 拖一拖:点积什么时候变成零
拖动两个箭头,盯住点积这个数。当两个箭头转到恰好垂直时,点积会穿过 0;偏向同侧点积为正,偏向反向点积为负。垂直那一刻,原点处会冒出一个小直角标记。
正交检测台
a · b = 0.0
夹角 = 90°
关系 = 正交
3 正交投影:墙上的影子,也是"最近的点"
正午阳光直射,一根斜插的杆子在地面投下影子——这影子就是杆子向"地面方向"的正交投影。投影还有个绝妙性质:它是直线上离原向量最近的点,而连接两者的"误差"恰好垂直于直线。拖动 b 和方向 a 体会这件事。
把 b 投影到 a 的方向上
投影系数 = 1.0
误差长度 = 0.0
proj = (a·b / a·a) · a。橙色虚线(误差 = b − proj)始终垂直于直线,而且是 b 到这条直线最短的距离。"最佳近似"就是这么来的。
这就是最小二乘的核心。当一堆数据点不可能精确落在一条直线上时,我们退而求其次:把"数据向量"投影到模型能达到的子空间上,误差垂直 = 误差最小 = 最佳拟合。详见最小二乘。
4 标准正交基:最省事的一套坐标轴
既正交、长度又都是 1 的一组基,叫标准正交基(orthonormal)。它好用到什么程度?求坐标不用解方程,直接做点积就行。现实中的"东、北、上"就是一组标准正交基。
正交基
两两垂直的一组基。好处:每个坐标互不干扰,可以一个一个独立算,不用联立解方程组。
标准正交
在正交基础上,每个向量长度再归一化为 1。此时向量 v 在第 i 个基上的坐标 = v · eᵢ,做个点积就读出来。
Gram-Schmidt
一套"正交化流水线":拿任意一组基,逐个减掉它在前面向量上的投影,就把它们"扶正"成正交基,再归一化即得标准正交基。
5 试三道(先想,再点)
三道题,点选项即时判;答题进度显示在右侧目录。
一句话带走:
正交 = 垂直 = a·b=0(因为 cos90°=0)。正交投影 proj=(a·b/a·a)a 是把一个向量"压"到某方向上的影子,它是直线上最近的点,误差垂直于直线——这正是最小二乘/最佳拟合的原理。既正交又单位长的一组基叫标准正交基,求坐标只需做点积,Gram-Schmidt 能把任意基扶正成它。