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MATH2099 · 随机变量的期望

随机变量的期望

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随机变量的期望

E[X²]=Var+μ²、线性组合、估计量 · Lecture 2

估计量 μ̂ (前三个观测)

\hat\mu=\frac{1}{D}\sum_{i=1}^{3}w_iX_i\ \Rightarrow\ E[\hat\mu]=\frac{\sum w_i}{D}\mu,\quad \operatorname{Var}(\hat\mu)=\frac{\sum w_i^{2}}{D^{2}}\sigma^{2}

比例估计量 P̂

Y\sim\text{Bin}(n,\pi):\quad E[Y]=n\pi,\ \operatorname{Var}(Y)=n\pi(1-\pi) \\[6pt] \hat P=\frac{Y}{n}\ \Rightarrow\ E[\hat P]=\pi,\quad \operatorname{Var}(\hat P)=\frac{\pi(1-\pi)}{n}

太阳能板故障 + 期望发电

X\sim\text{Bin}(n,\,1-p_{\text{fail}})\qquad E[X^2]=np(1-p)+(np)^2

生产线次品 + 期望收益

X\sim\text{Bin}(n,\,1-p_{\text{defect}})\qquad E[X^2]=\underbrace{np(1-p)}_{\operatorname{Var}}+\underbrace{(np)^2}_{(E[X])^2}

气旋数 (泊松 + 期望损失)

Y\sim\text{Poi}(\lambda):\quad E[Y]=\lambda,\ \operatorname{Var}(Y)=\lambda\ \Rightarrow\ E[Y^2]=\lambda+\lambda^{2}

机器故障 (泊松 + 期望成本)

P(\text{需要外包})=P(Y\ge m+1)=1-F(m)\qquad E[Y^2]=\lambda+\lambda^{2}