随机变量的期望

随机变量的期望

E[X²]=Var+μ²、线性组合、估计量 · Lecture 2

核心公式

估计量 μ̂ (前三个观测)

$$\hat\mu=\frac{1}{D}\sum_{i=1}^{3}w_iX_i\ \Rightarrow\ E[\hat\mu]=\frac{\sum w_i}{D}\mu,\quad \operatorname{Var}(\hat\mu)=\frac{\sum w_i^{2}}{D^{2}}\sigma^{2}$$

比例估计量 P̂

$$Y\sim\text{Bin}(n,\pi):\quad E[Y]=n\pi,\ \operatorname{Var}(Y)=n\pi(1-\pi) \\[6pt] \hat P=\frac{Y}{n}\ \Rightarrow\ E[\hat P]=\pi,\quad \operatorname{Var}(\hat P)=\frac{\pi(1-\pi)}{n}$$

太阳能板故障 + 期望发电

$$X\sim\text{Bin}(n,\,1-p_{\text{fail}})\qquad E[X^2]=np(1-p)+(np)^2$$

生产线次品 + 期望收益

$$X\sim\text{Bin}(n,\,1-p_{\text{defect}})\qquad E[X^2]=\underbrace{np(1-p)}_{\operatorname{Var}}+\underbrace{(np)^2}_{(E[X])^2}$$

气旋数 (泊松 + 期望损失)

$$Y\sim\text{Poi}(\lambda):\quad E[Y]=\lambda,\ \operatorname{Var}(Y)=\lambda\ \Rightarrow\ E[Y^2]=\lambda+\lambda^{2}$$

机器故障 (泊松 + 期望成本)

$$P(\text{需要外包})=P(Y\ge m+1)=1-F(m)\qquad E[Y^2]=\lambda+\lambda^{2}$$

去题库练这些题型

• 估计量 μ̂ (前三个观测)（频次 27）
• 比例估计量 P̂（频次 23）
• 太阳能板故障 + 期望发电（频次 12）
• 生产线次品 + 期望收益（频次 8）
• 气旋数 (泊松 + 期望损失)（频次 5）
• 机器故障 (泊松 + 期望成本)（频次 2）