数学题库

估计量 μ̂ (前三个观测)

Estimator from first three observations · 模块 C · 频次 27

μ^=1D∑i=13wiXi ⇒ E[μ^]=∑wiDμ,Var⁡(μ^)=∑wi2D2σ2\hat\mu=\frac{1}{D}\sum_{i=1}^{3}w_iX_i\ \Rightarrow\ E[\hat\mu]=\frac{\sum w_i}{D}\mu,\quad \operatorname{Var}(\hat\mu)=\frac{\sum w_i^{2}}{D^{2}}\sigma^{2}

识别信号: 第二高频（27/50） · "the estimator of μ defined as the weighted average of just the first three observations" · 要用 Maple 语法作答：mu, sigma, 11/9*mu, 41/81*sigma^2
所属知识点:随机变量的期望 →
生成题目中…
方法步骤
  1. a) EE：系数直接加（期望线性）→ ∑wiDμ\frac{\sum w_i}{D}\mu
  2. b) Var⁡\operatorname{Var}：系数要平方（独立可加）→ ∑wi2D2σ2\frac{\sum w_i^2}{D^2}\sigma^2
  3. c) 无偏 ⟺ ∑wiD=1\frac{\sum w_i}{D}=1 —— 必须真的算一遍
  4. d) 相合 ⟺ Var 随 n→∞n\to\infty 趋于 0。只用前 3 个 ⟹ Var 里没有 nn ⟹ 永远不相合
易错点 丢分都丢在这
  • 🔥 想当然认为"加权平均一定无偏" —— 真题里 3+4+49=119≠1\frac{3+4+4}{9}=\frac{11}{9}\ne1，是有偏的！这题占 27/50，选错直接丢分
  • Var 忘了平方系数 —— Var⁡(aX)=a2Var⁡(X)\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X)
  • Maple 语法写错 —— 乘号 * 不能省：11/9*mu 不是 11/9 mu；平方是 sigma^2