数学题库

比例估计量 P̂

Proportion estimator · 模块 C · 频次 23

Y∼Bin(n,π):E[Y]=nπ, Var⁡(Y)=nπ(1−π)P^=Yn ⇒ E[P^]=π,Var⁡(P^)=π(1−π)nY\sim\text{Bin}(n,\pi):\quad E[Y]=n\pi,\ \operatorname{Var}(Y)=n\pi(1-\pi) \\[6pt] \hat P=\frac{Y}{n}\ \Rightarrow\ E[\hat P]=\pi,\quad \operatorname{Var}(\hat P)=\frac{\pi(1-\pi)}{n}

识别信号: 第三高频（23/50） · "estimate the true proportion of successes π using the following estimator" · P^\hat P 是 YY（成功次数）的函数，用 Maple 语法作答：Pi
所属知识点:随机变量的期望 →
生成题目中…
方法步骤
  1. 认出 Y∼Bin(n,π)Y\sim\text{Bin}(n,\pi) —— 这是全题的钥匙
  2. a) E[P^]=E[Y]n=nπn=πE[\hat P]=\frac{E[Y]}{n}=\frac{n\pi}{n}=\pi → Maple: Pi
  3. b) Var⁡(P^)=Var⁡(Y)n2=nπ(1−π)n2=π(1−π)n\operatorname{Var}(\hat P)=\frac{\operatorname{Var}(Y)}{n^{2}}=\frac{n\pi(1-\pi)}{n^{2}}=\frac{\pi(1-\pi)}{n} → Maple: Pi*(1-Pi)/n
  4. c) =π=\pi → 无偏
  5. d) Var⁡→0\operatorname{Var}\to0 → 相合
易错点 丢分都丢在这
  • 忘了 Y 是二项的 —— 不知道 E[Y]=nπE[Y]=n\pi 就无从下手
  • Var 提常数时没平方 —— Var⁡(Y/n)=Var⁡(Y)/n2\operatorname{Var}(Y/n)=\operatorname{Var}(Y)/n^{2}
  • Maple 里 Pi 大写 P —— 写 pi 可能不认；乘号别省