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1 乘法原理:一步步选,数量相乘

早上配衣服:衣柜里有 3 件上衣、2 条裤子,一共能搭出几套?别一套套数——先选上衣(3 种)再选裤子(2 种),把每步的可能数相乘:3 × 2 = 6。点下面看它一套套长出来。

已搭出 0 / 6 套 = 3 件上衣 × 2 条裤子

乘法原理:做一件事分成几个独立步骤,各步分别有 a、b、c… 种选法,则总方法数 = 各步相乘 a × b × c …。

关键词是"分步"。比如 4 位数字密码:每位 10 选 1,共 10⁴ = 10000 种。

跑步比赛 5 个人,选 3 个上领奖台(金、银、铜)。第一名 5 选 1,第二名剩 4 选 1,第三名剩 3 选 1 → 5 × 4 × 3 = 60。这种"挑出来还要分先后"的就叫排列。

排列 P(n, r):从 n 个里挑 r 个并排顺序。P(n,r) = n×(n−1)×… = n!/(n−r)!

特例:全部排好(r = n)就是 n!(n 的阶乘)。3 个人排队 = 3! = 6 种。

买彩票选 3 个号、从班里选 3 人组队——谁先谁后无所谓,只看"是哪几个"。这叫组合。下面拖滑块、切换"顺序重不重要",亲眼看两者差在哪。

总共 n =5

选 r =3

顺序?

组合 C(n, r):从 n 个里挑 r 个不管顺序。C(n,r) = P(n,r)/r! = n!/(r!(n−r)!)

为什么除以 r!?同一组 r 个东西,在排列里被它们的 r! 种排法重复数了 r! 遍——除掉就好。

90% 的题,分清这一点就做对了:

问自己:换个顺序算不算新方案?

算 → 排列(领奖台、密码、排队、班长+副班长);不算 → 组合(抽奖、握手、选小组、发同样的奖)。

握手为什么是组合

A 跟 B 握手 = B 跟 A 握手,同一次。n 人两两握手 = C(n,2)。

组合天生比排列少

同样 n、r,C(n,r) ≤ P(n,r),差的正是 r! 倍——顺序的花样被合并了。

易错:"金银铜"是排列(名次不同),"选 3 个进决赛"是组合(都一样进)。盯住:选出来之后,他们的角色有没有区别。

三道题,点选项即时判;答题进度显示在右侧目录。

一句话带走:

分步就乘(乘法原理);挑出来还分先后 = 排列 P(n,r)=n!/(n−r)!;只看选了谁 = 组合 C(n,r)=n!/(r!(n−r)!)。组合 = 排列 ÷ r!,因为顺序的花样被合并了。判断口诀:换个顺序算不算新方案。