常见概率分布（二项/泊松/指数/正态）
Special Probability Distributions
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常见概率分布
math/probability-distributions · MATH20991 为什么要给分布"起名字"
现实里的随机现象,形状反复出现:"n 次里成功几次""一小时来几个电话""身高/分数怎么分布"。统计学家给这些常见模式各起一个名字、配一条公式,这样一遇到就能直接套,不必每次从头数。这一节认识三位最常见的"分布明星"。
一个分布通常由几个参数决定形状:二项分布看 n, p,泊松看 λ,正态看 μ, σ。同一族分布,参数一变,形状随之伸缩平移。
认分布的关键不是背公式,而是认场景:它在数什么?是"成功次数"、"稀有事件计数",还是"围着平均值的连续波动"?对上场景,公式自然就该用哪条。
2 二项分布:n 次独立尝试,成功几次
投 n 次硬币、抽 n 件产品验合格、罚 n 个点球——每次只有"成功/失败"两种、成功概率都是 p、彼此独立,那么"成功次数"就服从二项分布。拖 n 和 p,看柱子怎么移动、怎么从偏斜慢慢变成对称的钟形。
二项分布 B(n, p)
3 正态分布:那条无处不在的钟形曲线
身高、体重、考试分数、测量误差……大量"被许多小因素共同影响"的量,都呈钟形(正态)分布:中间高、两边对称衰减。它有个黄金法则——68–95–99.7:约 68% 落在 ±1σ,95% 在 ±2σ,99.7% 在 ±3σ。拖 μ(中心)和 σ(胖瘦)体会。
正态分布 N(μ, σ²)
4 泊松分布:稀有事件,单位时间来几个
"固定时间/空间里,某稀有事件发生几次":一小时打进多少个客服电话、一页书有几个错别字、一平方米布料几个瑕疵。只要事件随机、独立、平均速率 λ 稳定,计数就服从泊松分布。拖 λ(平均发生次数)看形状。
泊松分布 Poisson(λ)
5 试三道(先想,再点)
三道题,点选项即时判;答题进度显示在右侧目录。
一句话带走:
认分布先认场景。二项 B(n,p):n 次独立"成功/失败"里的成功次数,期望 np。泊松 Poisson(λ):稀有事件单位时间计数,期望=方差=λ。正态 N(μ,σ²):无处不在的钟形,μ 定中心、σ 定胖瘦,记牢 68–95–99.7。n 大时二项、泊松都趋近正态——这背后是中心极限定理。