Olverae Assets

1 样本均值,本身就是个会变的随机数

想估全校学生平均身高,你不可能量遍所有人,只能抽一组来算平均。但换一组人,算出的平均又不一样了。所以"样本均值 x̄"不是一个固定数,它本身也是随机变量——每抽一次就摇出一个值。理解它怎么波动,是统计推断的全部基础。

抽样分布:把"反复抽样、每次算出的样本均值 x̄"收集起来,它们形成的分布。它描述 x̄ 会落在哪、波动多大。

别把三种分布搞混:① 总体分布(全体个体);② 一次样本里 n 个数据的分布;③ 抽样分布(许多次 x̄ 的分布)。本节主角是第 ③ 种。

这是统计学最震撼的结论。无论总体是均匀、右偏还是双峰,只要样本量 n 够大,样本均值的抽样分布都会趋近正态(钟形)。下面亲手验证:选一个"歪七扭八"的总体,反复抽样,看下方均值的柱子怎么神奇地堆成钟形。

样本量 n5

已抽组数 = 0均值的标准差(标准误)≈ —

上图是总体(可以很歪),下图是"每组 n 个数的平均"的分布。多抽几组,下图会越来越像钟形——而且 n 越大,钟形越窄、越集中在总体均值上。

样本均值的波动有多大?由标准误 SE = σ / √n 衡量(σ 是总体标准差)。关键在那个根号 n:想让估计精度翻倍(误差减半),样本量要变成4 倍,不是 2 倍。拖 n 看抽样分布怎么收窄。

样本量 n4

总体 σ = 4(固定)标准误 SE = 2.00

CLT 是后面"置信区间""假设检验"能成立的底层引擎:

总体可以未知

哪怕完全不知道总体长什么样,只要 n 够大,样本均值就近似正态——于是可以用正态分布的现成结论去推断。

误差可量化

有了 SE=σ/√n,就能说"我们的估计大概差多少",从而给出区间、算出概率,而不是只丢一个孤零零的数字。

多大算"够大"

经验上 n ≥ 30 通常足够;总体越接近对称,需要的 n 越小;总体越偏斜,需要的 n 越大。

三道题,点选项即时判;答题进度显示在右侧目录。

一句话带走:

样本均值 x̄ 本身是随机变量,它的分布叫抽样分布。中心极限定理(CLT):不管总体什么形状,n 够大时 x̄ 的分布都趋近正态,中心在总体均值 μ。波动由标准误 SE=σ/√n 决定——精度翻倍要 4 倍样本。CLT 是置信区间与假设检验的底层依据。