两样本均值的推断
Inference for Two Means
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两样本均值推断
math/inference-two-means · MATH20991 两组到底有没有差别?
新版页面转化率比旧版高一点点(A/B 测试)、吃药组比安慰剂组康复快几天、A 班平均分比 B 班高 3 分——这些差异是真实存在,还是抽样的随机波动恰好让一组看起来高?两样本推断就是判断"这点差距,经得起噪声考验吗"。
关注的是两个总体均值之差 μ₁ − μ₂。零假设通常是 H₀: μ₁ = μ₂(两组没差别),备择是 μ₁ ≠ μ₂。
和单样本检验一样的逻辑,只是检验统计量换成"差值 ÷ 差值的标准误"。关键在于:两组各自的随机波动会叠加进差值里,所以差值比单组更"抖"。
2 差值也有标准误,而且更大
两个样本均值各有波动,它们的差波动更大——方差相加。差值的标准误是 SE = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)。检验统计量 t = (x̄₁ − x̄₂) / SE,再像假设检验那样查 p 值;差值的置信区间是 (x̄₁−x̄₂) ± t·SE。
t = (x̄₁ − x̄₂) / √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)。|t| 越大 → 差距相对噪声越突出 → p 越小 → 越可能"显著"。
直觉:t 是"信号(组间差)比噪声(组内波动)"。差距大、样本大、组内越整齐(方差小),信噪比就高,越能确认差异真实。若 95% 差值区间不含 0,等价于在 5% 水平拒绝"两组相等"。
3 对比实验台:这点差距是真的吗?
两组数据(蓝=A,橙=B)。拖两组的差距和每组样本量,看 t 值、p 值怎么变。你会发现:同样大小的差距,样本越多越容易"显著";差距被组内波动淹没时,再好看的均值差也可能只是噪声。
两组均值差 显著性
4 独立样本 vs 配对样本
两组数据怎么来的,决定用哪种检验。配对设计往往更灵敏:
5 试三道(先想,再点)
三道题,点选项即时判;答题进度显示在右侧目录。
一句话带走:
两样本推断判断 μ₁−μ₂ 是否为 0。差值的标准误把两组波动相加:SE=√(s₁²/n₁+s₂²/n₂),检验量 t=(x̄₁−x̄₂)/SE = 信号比噪声;|t| 大、p 小则差异显著(等价于差值 95% 区间不含 0)。独立样本用双样本 t;配对样本(同一批个体两次测量)先求差再单样本检验,消去个体差异、更灵敏。