数学题库

正态分位 z* + 比例误差限

z* and margin of error for a proportion · 模块 F · 频次 50

z∗=Φ−1 ⁣(1+γ2)ME=z∗p^(1−p^)n正态性  ⟺  np^(1−p^)>5z^{*}=\Phi^{-1}\!\left(\tfrac{1+\gamma}{2}\right) \qquad \text{ME}=z^{*}\sqrt{\tfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \qquad \text{正态性}\iff n\hat p(1-\hat p)>5

识别信号: 这是最高频题型 —— 50/50 次抽样每次都出现，几乎必考 · a) "Given Z~N(0,1) ... P(−z∗<Z<z∗)=P(-z^*<Z<z^*)=某数" · b) "In a random sample of n ..., k showed ..." → 求 p̂ / margin of error / 正态性是否合理
所属知识点:置信区间与比例 →
生成题目中…
方法步骤
  1. a) 双侧对称 → 中间 γ，两尾各 (1−γ)/2 → z = stats.norm.ppf((1+γ)/2)
  2. b-i) p̂ = k/n（可以直接写分数）
  3. b-ii) ME = z*·√(p̂(1−p̂)/n)，注意 z* 用的是 b) 里那个置信度（未必等于 a) 的 γ）
  4. b-iii) 算 n·p̂(1−p̂)，>5 才算正态合理
易错点 丢分都丢在这
  • a) 用了 norm.ppf(γ) —— 双侧要 (1+γ)/2。γ=0.93 → 0.965 分位
  • b-ii) 沿用了 a) 的 z* —— 两问的置信度可能不同，看清题
  • b-iii) 选了 "Yes, because n is large (>30)" —— 这是陷阱选项！比例的正态性判据跟 n>30 无关，看的是 np^(1−p^)>5n\hat p(1-\hat p)>5