数学 · 微积分
导数概念与基本求导规则
Derivatives: Concepts and Basic Rules
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导数
math/derivatives · 基础
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1 导数 = "此时此刻"的变化快慢
开车时,仪表盘上的速度是"这一瞬间跑多快",不是全程平均速度。导数就是这个"瞬时变化率":函数在某一点,值正以多快的速度在变。图像上看,它就是曲线在那一点的切线斜率——曲线在这点是陡是缓、是升是降,导数一个数全说清。
导数 f′(x) = 函数 f 在 x 处的瞬时变化率 = 曲线在该点切线的斜率。定义:f′(x) = lim_{h→0} [f(x+h) − f(x)] / h。
那个分式是"割线斜率"(两点连线的平均变化率)。让两点无限靠近(h→0),割线就转成切线,平均变化率就逼近瞬时变化率。下面亲眼看这个"逼近"。
2 割线变切线:让 h 趋近于 0
曲线是 f(x) = −0.15x² + 1.5x(一座小山)。蓝色割线连接 x 和 x+h 两点,斜率是这段的平均变化率。拖h 越来越小,看蓝割线慢慢压到红切线上——割线斜率就收敛到导数 f′(x)。
f(x) = −0.15x² + 1.5x
3.0
2.50
割线斜率 = —切线斜率 f′(x) = —
3 基本求导规则(背下这几条就够用)
逐点求极限太累,实际靠几条公式直接写出导数:
幂法则
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。把指数搬下来当系数、指数减 1。例:(x³)′=3x²、(x)′=1。最常用的一条。
常数与系数
常数的导数是 0(不变就没变化率);系数原样提出:(5x²)′ = 5·2x = 10x。
和差法则
逐项求导:(f±g)′ = f′ ± g′。例:(x²+3x−7)′ = 2x+3。
几个要记的
(eˣ)′ = eˣ(自己导自己!)、(sin x)′ = cos x、(ln x)′ = 1/x。乘积/复合另有乘积法则与链式法则。
导数最大的用处:找极值。山顶/谷底处切线水平,即 f′(x) = 0。解这个方程就能找到函数的最大/最小点——这是优化、最小二乘、机器学习训练的共同内核。上面那座"山"的顶点恰好在 f′(x)=0 即 x=5 处。
4 试三道(先想,再点)
三道题,点选项即时判;答题进度显示在右侧目录。
一句话带走:
导数 f′(x) = 瞬时变化率 = 曲线在该点的切线斜率。它由"割线在 h→0 时的极限"定义:f′(x)=lim[f(x+h)−f(x)]/h。实算靠规则:幂法则 (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹、常数为 0、和差逐项、(eˣ)′=eˣ。最大用途是令 f′(x)=0 找极值——优化与拟合的根。它和积分互为逆运算。