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1 积分 = 把"曲线下的面积"累加起来

导数问"变化有多快",积分问相反的问题:"累计起来一共有多少"。速度对时间累加 = 距离、功率对时间累加 = 电能、流量对时间累加 = 总水量——这些"累计"在图上,都等于曲线下方那块面积。积分就是精确算出这块面积的工具。

定积分 ∫ₐᵇ f(x) dx = 函数 f 在区间 [a,b] 上与 x 轴之间的面积(x 轴下方记负)。dx 是"无穷细的小段宽度"。

符号 ∫ 是拉长的 S,意思就是"Sum 求和"。把曲线下方切成无数根细条,每根面积 ≈ 高 f(x) × 宽 dx,全部加起来就是积分。下面用"切矩形"把这件事看清楚。

2 黎曼和:用矩形逼近面积

怎么算弯曲边界下的面积?用一排矩形去铺。矩形越多、越窄,锯齿状的台阶就越贴合曲线,总面积越接近真值。拖矩形数量 n,看估计值怎么一步步逼近真实面积。

∫₀⁸ (0.1x² + 1) dx 的面积逼近

矩形数 n5

矩形估计 = —真实面积 = 25.07误差 = —

3 微积分基本定理:积分是导数的"逆操作"

逐根矩形相加太慢。微积分基本定理给了一条捷径:积分和求导是互逆的!要算 f 的面积,只需找一个"导数恰好是 f"的函数 F(叫原函数/反导数),再代入端点相减。

若 F′(x) = f(x),则 ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)。求面积 = 找反导数 + 端点相减,不用真的切无穷个矩形。

例:∫₀⁸(0.1x²+1)dx。先找反导数 F(x)=0.1·x³/3 + x(因为它的导数正是 0.1x²+1),再算 F(8)−F(0) = (17.07+8) − 0 = 25.07,和上面矩形逼近的结果一致!

不定积分 = 找反导数

∫f(x)dx = F(x) + C,结果是一族函数(+C 因为常数求导为 0)。例:∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C(幂法则反过来)。

定积分 = 一个数

带上下限 [a,b],代入相减得到具体面积(一个数)。负值表示曲线在 x 轴下方。

为什么互逆

"累加变化量,就还原出总量":把每一小段的变化(导数×dx)加起来,恰好回到原函数的净改变 F(b)−F(a)。导数拆开、积分合拢。

4 试三道(先想,再点)

三道题,点选项即时判;答题进度显示在右侧目录。

一句话带走:

积分 = 曲线下面积 = 累计总量(导数的逆问题)。用黎曼和(一排矩形)逼近:矩形越多越准。捷径是微积分基本定理:找一个反导数 F(F′=f),则 ∫ₐᵇf dx = F(b)−F(a)。不定积分给一族 F(x)+C,定积分给一个数。幂法则反用:∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C。导数与积分,一拆一合,互为逆运算。