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1 一个关于"变化速度"的方程

很多自然规律不直接告诉你"量是多少",而是告诉你"量变化得多快":人口增长率正比于现有人口、热咖啡降温速度正比于温差、电容放电电流正比于剩余电压。把这种"变化率 = 某个表达式"写下来,就是一阶微分方程。解它,就能从"变化规律"还原出"量随时间的完整轨迹"。

一阶常微分方程(ODE):含有未知函数 y(t) 及其一阶导数 y′ 的方程,形如 y′ = f(t, y)。"一阶"=只到一阶导数。

最经典的一个:y′ = k·y——"变化率正比于自身大小"。它的解正是上一节的指数函数 y = y₀ eᵏᵗ:k>0 指数增长,k<0 指数衰减。下面用"方向场"把解看出来。

2 方向场:让小箭头"领着"解往前走

方程 y′ = k·y 在平面每个点都规定了一个斜率(该点解曲线该往哪走),画成一片小箭头就是方向场。拖动那个圆点(初始值),解曲线就会顺着箭头流淌出来。调 k 看增长(k>0)与衰减(k<0)。

y′ = k·y 的方向场与解

系数 k0.40

初值 y(t₀) = —解 = y₀eᵏᵗ

3 解法:分离变量 + 积分

最常用的招数叫分离变量:把所有 y 挪到一边、所有 t 挪到另一边,然后两边各自积分。以 y′ = ky 为例:

①把 dy/dt = ky 整理成 dy/y = k·dt;②两边积分得 ln|y| = kt + C;③解出 y = y₀ eᵏᵗ(y₀ 是初始值,由初始条件定)。

看到没?解微分方程要用到积分——这就是为什么积分是它的前置。初始条件(比如 t=0 时 y=100)用来钉死那个常数 C / y₀,得到唯一确定的解。

指数增长

y′ = ky, k>0 → y=y₀eᵏᵗ。人口、细菌、复利:越多长得越快,无限上冲。

指数衰减

y′ = −ky → y=y₀e⁻ᵏᵗ。放射衰变、电容放电、药物代谢:剩得越少减得越慢,趋于 0。

趋于平衡(牛顿冷却)

y′ = −k(y−A):咖啡降温趋向室温 A。解 y = A+(y₀−A)e⁻ᵏᵗ,指数地贴近平衡值。

4 试三道(先想,再点)

三道题,点选项即时判;答题进度显示在右侧目录。

一句话带走:

一阶微分方程 y′=f(t,y) 描述"变化率"的规律,解它得到 y 随时间的轨迹。方向场的小箭头领着解曲线走;初始值定下走哪一条。明星方程 y′=ky 解为 y=y₀eᵏᵗ(k>0 增长、k<0 衰减)。手法是分离变量后两边积分(所以要先会积分)。它向上推广就是线性常微分方程组 x′=Ax。